画像の幾何補正・他（演習4）

by 菊地時夫 — last modified 2008-12-02 09:33

~/image/e4 で演習

内挿法

Python Imaging Library には内挿法として
NEAREST ... 最近隣内挿法

BILINEAR ... 共一次内挿法

BICUBIC ... 3次畳み込み内挿法

が用意されている。
これに加えて、主に画像を縮小するときに使用する ANTIALIAS もある

画像の拡大

この小さい画像を 5倍に拡大してみよう

最初は NEAREST を使う

# e401.py ... expand image
import Image
 
img = Image.open('s401.ppm')
width, height = img.size
width = width * 5
height = height * 5
imgx = img.resize((width,height), Image.NEAREST)
imgx.save('s401-1.ppm')

他の内挿法も試してみる

同じ画像を使って、
BILINEAR -> e401-2.ppm

BICUBIC -> e401-3.ppm

ANTIALIAS -> e401-4.ppm

にそれぞれ画像を保存して比較してみよう
注意：img.show() で表示させた場合、いったん JPEG 形式で保存される。このため若干画質が落ちて比較できないことがある。

画像の縮小と内挿法

ついでに画像を縮小する場合も比較してみよう
大きい画像をダウンロードして保存し、縦横それぞれ 1/4 に縮小するプログラム(e402.py)を作成しなさい。NEAREST/BILINEAR/BICUBIC/ANTIALIAS それぞれ s402-1.ppm/s402-2.ppm/s402-3.ppm/s402-4.ppm に保存して比較する。

Affine 変換の係数を求める

以下の図のような affine 変換を行う

式

u = ax + by + c
v = dx + ey + f

(u, v) -> (x, y) へ変換（逆変換）

三角形の頂点を与える

(x, y) = ( 10, 50), (380, 100), (130, 280)
(u, v) = (  0,  0), (400, 100), (100, 300)

|u1 v1|   |x1 y1 1| |a d|
|u2 v2| = |x2 y2 1| |b e|
|u3 v3|   |x3 y3 1| |c f|

上記行列による方程式を(a, b, ... f) について解く

Python で解く

# e403.py ... affine coefficients
from Matrix import *
from LinearAlgebra import * 
U = Matrix([[  0,   0],
            [400, 100],
            [100, 300]])
X = Matrix([[10,  50, 1],
            [380, 100, 1],
            [130, 280, 1]])
C = solve_linear_equations(X, U)
print 'a =', C[0][0]
print 'b =', C[1][0]
print 'c =', C[2][0]
print 'd =', C[0][1]
print 'e =', C[1][1]
print 'f =', C[2][1]

LinearAlgebra

Affine 変換を実行

PIL の image オブジェクトには transform というメソッドが用意されている。
詳しくはマニュアルで
この画像を変換

係数(a, b,...f) は先に求めたものを使う（このままでは動かない）

# e404.py ... test affine transform
import Image
 
img = Image.open('s404.ppm')
imgx = img.transform((400,300), Image.AFFINE, 
                     (a, b, c, d, e, f),
                     Image.NEAREST)
imgx.save('s404-1.ppm')

最小二乗法（おまけ）

解説
プログラム例
二乗誤差を最小にするという原理と
偏微分をゼロにすると一次連立方程式に帰結することが理解できれば、
変数が増えても同じ。

最小二乗法（グラフ）

プログラム例を簡単化し、gnuplot で点と回帰線を表示する

gnuplot を使っているため、X11 のターミナルから実行すること

# e405.py
from math import sqrt
import Gnuplot
 
def linreg(X, Y):
    assert len(X) == len(Y)
    N = len(X)
    Sx = Sy = Sxx = Syy = Sxy = 0.0
    for x, y in zip(X, Y):
        Sx = Sx + x
        Sy = Sy + y
        Sxx = Sxx + x*x
        Syy = Syy + y*y
        Sxy = Sxy + x*y
    det = Sxx * N - Sx * Sx
    a = (Sxy * N - Sy * Sx)/det
    b = (Sxx * Sy - Sx * Sxy)/det
    return a, b
 
def plot(X, Y, a, b):
    g = Gnuplot.Gnuplot()
    P = Gnuplot.Data(zip(X, Y))
    L = Gnuplot.Func('(%f)*x + (%f)' % (a, b), with='line')
    g.plot(P, L)
    raw_input('Hit return to terminate.')
 
if __name__=='__main__':
    #testing
    X=[1,2,3,4,5]
    Y=[357.14,53.57,48.78,10.48,-168.8]
    a, b = linreg(X, Y)
    plot(X, Y, a, b)

発展課題

1.ppm 2.ppm 4.ppm の中からひとつを選んでアフィン変換を試して見なさい。その際、画像は適当に斜めに歪ませるが、同時に 上下反転 するように係数を選びなさい。(e406.py)

出席確認

- 本日作成した 最後のプログラム をメールの本文に記入して、菊地・画像処理論用に送信。本文の最初に感想等入れるも可。

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